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    函数的奇偶性教学设计刍议
    信息来源:郎溪中学  ‖  发稿作者:刘自珍   ‖  审核人员:方明凯  ‖  审批人员:方明凯  ‖  发布时间:2017年9月28日  ‖  查看328次  ‖   字体:[] [] []

        2017年9月22日,郎溪县高中数学青年教师优秀课评选在郎溪中学举行,课题是函数的奇偶性,我有幸作为评委在一天的赛课中欣赏了六位老师不同风格、不同特色的精彩课堂,很有感触。结合我平时在备课、上课时的习惯,要对自己进行“三问三答”,然后才会走上讲台。哪三问呢?“一问为什么要上这一课”、“二问这一课上什么”、“三问怎么上好这一课”,现就以这“三问”来谈一谈我粗浅的想法。

        首先来谈第一个问题。

        一  为什么要上这一节课

        上一节课还要问为什么?教科书不是已经安排好了吗?或许我们早已习惯了被安排,或许在我们平日里繁忙的教学活动中根本来不及思考这个问题,可这个问题却真真切切地存在着。德国数学家高斯说“数学是科学的皇后”,英国文艺复兴时期的哲学家培根在《论学问》中有一段话:史鉴使人明智;诗歌使人巧慧;数学使人精细;可见数学是自然科学的基础,同时数学在育人方面的有重要的价值。学习数学就要有一定的载体,这就回归到教学的内容上来。那么,为什么要学习函数的奇偶性呢?

        1. 1必要性

        奇偶性是函数的一条重要的性质,所谓性质,就是一般地函数所具有的公共的特征,从概念上说奇偶性是函数概念的下位概念,也就是说函数是源,奇偶性是流,为什么有这一支流,不妨要从源头上找。

        函数这一概念是中学数学的核心概念,它在初中阶段与高中阶段有着不同的表述,

        我们具体地来看:初中阶段:一般地,设在一个变化过程中有两个变量xy,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,yx的函数。


        初中阶段的概念表述是基于物理学的背景,是从运动的观点出发的,高中阶段的概念表述是基于集合和对应的观点,二者在本质上是一致的。简单地说函数就是因变量随自变量的变化而变化,大家注意到,这里的两个变量,一是研究的顺序问题,二是研究的内容。前一问题不难明白,后一个问题,研究的内容,从高中对函数的概念的表述上,可以看出研究变量的对象是非空的数集,也就是要从数集(列)的角度去考虑,于是,我们是在从数集(列)的角度去在两个变量的变化中寻找一般的规律,如,当x在增大,f(x)也在增大(或减少),反映在图形上的特征是这个函数的图象从左向右是上升(或下降),谓之单调性;如,x增加一个固定的值,其函数值不变,即f(x)=f(x+T),反映在图形上的特征是图形循环出现的,谓之周期性;如,当x取它的相反数时,其函数值相等或互为相反数,即f(x)=f(x)f(x)=f(x),反映在图象上的特征是函数图象关于y轴对称或是关于原点中心对称,谓之奇偶性。当然函数还有很多重要的性质,如最值、零点、函数值增长(减少)的快与慢等,主要从数集(列)的特殊值去考虑。

        1.2  合理性

        脱离图形去研究函数,是抽象的,不完整的。从函数的图形上看,我们在初中阶段学过的函数,如:y=xy=xy=1/x,它们的图象有曲、直之分,同时它们又是对称的,有轴对称(关于y轴),有中心对称(关于原点),这两种对称方式既是函数图象中普遍存在的又是两种不同规则的对称,图形本身能够很好地直观刻画这一规则,如何从数的角度,也就是从自变量和因变量的角度去解释这两种不同的规则呢?关于y轴对称的点的坐标特征x,y,(-x,y),关于原点对称的点的坐标特征(x,y,(-x,y)即x取它的相反数时,它的函数值呈现的相等或互为相反数,意味着不同的规则下的图形,其实对应着不同规则的函数,要去刻画和区分这种规则,于是新的概念(奇函数、偶函数)顺应而生。当然新的概念也能反映出函数的这一本质特征。

     

        二这一节课上什么?

        即教学目标的确定,是基于对教学内容的解读和对学生认知状况的分析,一般上,要经过解读教材、了解学生的认知、选择合适的素材、确定教学的重难点、选择合适的教学方法。

        2.1教学内容的宏观解读

        教学内容的宏观解读是指以宏观的整体的视角,找到知识的生长点与延伸点,找到各知识点的逻辑性与关联性,让整节内容形成一条知识的整体线。我们不妨把教材的整节内容用框图的形式呈现出来。

        可见“以具体的函数作为知识背景------概念的形成-------概念的应用”作为这一节内容的综合性的主线,从函数的奇(偶)性概念的形成来看“特殊函数图象的定性分析-----函数值列表的定量分析------形式化的概念”是概念形成的一条主线。为什么要宏观地解读,你看,只有宏观地解读才能从整体上把握教材的主线,理解编者的意图,即明确把奇(偶)函数的概念形成过程作为教学的重点;图象对称的直观的结论还需要从数量关系的角度推理论证;研究函数性质的方法:(1)观察函数图象,描述其共同特征;(2)结合图、表,用自然语言描述图象特征;(3)用数学的符号语言定义奇(偶)函数。

       2.2教材所体现的数学思想方法

        思想方法指在教材内容的解读过程中,把隐含在内容之后的数学思想方法揭示出来,把教学内容看作是形,那么思想方法才是数学的精髓是数学的神。以偶函数的概念形成来看,先是观察f(x=x2fx=x|的函数图象再分析函数值的对应表的数据特征,它体现了研究问题的基本方法“定性分析”与“定量分析”相结合;教材中先安排偶函数的学习,奇函数的研究完全可仿照偶函数进行,体现了对同一性质的问题可以用“类比”的方法去研究;图象的特征是直观的,函数值的研究是细微的具体的,已知函数的奇偶性可以推断它在整个定义域内的图象,反之也可以通过函数图象来判断函数的奇偶性,充分体现了数学中的“数形结合”的思想;函数图象是整体的,对称点的研究是局部的,上升到形式化的定义又是整体的,所以整个定义的形成是经过了“从整体—-局部—-整体”的过程;通过对fx=x2fx=x|、fx=xfx=1/x几个特殊的函数图象特征的研究形成奇()函数的一般性定义,又体现了认识事物从特殊到一般的规律,及函数的研究从具体到抽象的过程;若函数f(x)是偶函数,则f(-3)=f(3),反之,若函数f(x), 已知 f(-3)=f(3),那么函数f(x)是否为偶函数,则体现了哲学上的辩证思想。

        2.3学生认知状况的分析

        函数奇偶性的实质是函数图象的对称性,它是函数图象整体性的特征,关于对称性在初中学习二次函数和反比例函数时已有初步的学习,初中阶段二次函数的对称性主要体现在方便画图及确定顶点,反比例函数的对称性则主要是方便画图。初中学生对函数的对称性的认识主要以具体的函数如y=3xy=1/xy=4x2+6x+7的图象作支撑,从运动的观点考察变量的关系,而在高中阶段,则函数的研究从集合与对应的观点出发,这就使函数的研究有很高的抽象性、理论性,当然我们在看到知识结构上升的同时,也找到了知识的生长点,即学生知识生长的衔接区。函数的奇偶性是函数的重要性质,它的运用还体现在对后续教材中几个初等函数、三角函数及由它们运算构成的抽象复合函数。比如:(1)确定函数g(x)=x+1/x+1的对称中心。(2)若函数f(x)D上是奇函数,设g(x)= f(x)+1.确定g(x)的对称中心。(3)设函数y= f(x)定义在R上,则函数y= f(x-1) y= f(1-x)的图象的对称轴是什么。

     

        三、怎么上好这一课

        据上述分析,确定本节课仍然是概念课的教学,将概念的形成过程(观察、归纳、抽象)作为教学的重点,将数学的思想方法的隐性目标依托于教材的知识目标渗透给学生,让学生感受到概念产生的合理性、自然性。以下是我对本节课的初步预设,主要展示偶函数的概念生成过程,下文中四、五、六、七环节没有展示。

    一、初步感受奇、偶函数图象的对称性特征,并会根据特征分类

    “同学们,我们在初中已经学过了几个函数,f(x)=xf(x)= x-1 f(x)=x2,你能很快地画出它们的图象吗?”(突出“很快”,意味着图象有特征,列表有规律,据以前经验,学生没有知识上的障碍,可以很快画出。)

    “你能再画几个吗?f(x)=x3 f(x)=x4 f(x)=x5f(x)=x6 f(x)=x7 ”(意味着,前面画的对后面所画有启发,这几个函数图象在实际画的过程中有点“麻烦”,但函数图象画法是不变的,这样有意设置障碍,意在引发冲突,让学生欲得不能仍想得之,教师可以用几何画板来展示这几个函数的图象。)

    “请同学们观察图象,根据图象特征,给上述函数分类,并说明分类的标准?”

    (不同的标准产生不同的分类,比如曲、直之分,但学生一定会想到根据图象的对称性来分)结果如下

       f(x)=xf(x)= x-1 f(x)=x3 f(x)=x5f(x)=x7  

       f(x)=x2f(x)=x4 f(x)=x6

        教师根据分类,与学生一起尝试,给这两类函数一个名称,即奇函数、偶函数。(从自变量的指数上看是奇数和偶数,当然奇函数、偶函数的命名可能并不是因这里指数的奇偶而得名,如是这样,我们对f(x)=|x|就无法解释,故这里的命名是非本质上的命名,但一定程度上的“合理”性也给了学生一种“合理”的感受。)

     

    二、进一步感受偶函数图象的对称性,确定研究的思路与方法

        “我们先选择“偶函数” f(x)=x2f(x)=x4 f(x)=x6来进一步地研究它的性质,它的图象是关于y轴对称的,对称图形的实质是什么?对称的数量关系是什么?”(启发学生回答是点的对称,从而去研究对称点的坐标,回到到前面的列表画图中。这个启发有难度,它开始了从定性研究到定量研究的过程,开始了研究的视角从整体观察到局部点,开始了由形到数的过程,也为奇函数性质的研究提供了思路与方法)

        以f(x)=x2为例,学生观察列表,得到

    f(-1)= f(1),

    f(-2)= f(2),

    f(-3)= f(3),

    ……

        用自然语言概括特征:当自变量取它的相反数时,函数值是不变的。

        用符号来表示上面特征:f(-x)= f(x)

       “函数f(x)=x4 f(x)=x6 也有这样的特征吗?请同学说明。”“你还能举出有这种特征的函数吗?”

       “函数的研究要紧紧地围绕着它的核心,即‘三要素’,如果尝试去改变它的定义域,如函数f(x)=x2x>0)也有这样的特征吗?如果x>2x>5x≠-6呢?”(通过改变定义域的范围,让学生从数式的角度,感受图形是否对称,体会偶函数的定义域的对称性,这个过程也体现了由数到形的过程,学生感受到仅从函数解析式上并不能判断图象的对称性,首要考虑定义域,体会定义域中“任意”二字的意义,不断回归到函数这一中心概念。)

     

    三、归纳总结偶函数的特征,并用符号的语言描述偶函数的概念

        “请同学总结偶函数的图象特征,并给偶函数下定义。”

        “请同学举出几个偶函数的例子。”学生举例后,要反问,“你是怎么举出的呢?”

        (请同学举例,是检测学生是否准确把握偶函数的概念,理解其真正的内涵,比如学生可能举出类似f(x)=|x|,f(x)= x4+x6例子,反问的目的是让学生回归到偶函数f(-x)= f(x)的本质。)

    四、奇函数的研究仿照偶函数的研究交给学生

        “请同学们来研究‘奇函数’,你准备怎么研究呢?“

        (教师在前面已经给出研究的方法,以及可能得出的类似“偶函数”的结论,现在又给出研究的对象,要放手让学生去探索,给学生一定的空间和时间,让学生分组开展研究、相互交流、汇报总结)

    五、例题5奇偶性的判断

    六、练习

    七、总结本节课内容

     四、几点商榷

    1、 关于情境引入。

        这次上课6位老师,有5位教师,是先展示生活中的有轴对称图形和中心对称图形的图片,意在让学生感受数学之美,感受数学与生活的紧密联系,同时也是从对称图形引入函数图形对称的课题,个人觉得函数图形的对称与生活中图片的对称是有本质的区别,只见图形不见数学,也就是函数图形的对称性是否源自于生活中的图片上的对称,这里的对称是否有助于我们形成奇、偶函数的概念的过程,难道仅仅是为了引题而引题,为了情境而情境吗?还有一位老师采用游戏引入:甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜。如果甲先放,那么他怎样放才能取胜?个人觉得,与上相同,甚至于很难想到它和函数还有着千丝万缕的联系。

    2、 关于概念的生成。

        有一位老师直接从奇、偶函数的概念入手,研究图形特征,个人觉得这样的做法不利于学生体会感受概念的形成过程,也显得太突然、太抽象。

    3、 教学目标的设定。

        在练习阶段有老师已经设置了“(1)确定函数g(x)=x+1/x+1的对称中心。(2)若函数f(x)在D上是奇函数,设g(x)= f(x)+1.确定g(x)的对称中心。”这样的问题。对于本节课,从教学目标上看,主要是从形与数两个角度进行引导,使学生理解函数奇偶性的概念,在奇偶性概念的形成过程中培养学生观察、归纳、抽象的能力,培养学生从特殊到一般的概括能力,渗透数形结合等重要的数学思想。所以这样抽象函数的问题放到下一个课时,可能更合适。
                  
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